chapter 2 암호 수학 - 3절 행렬

1. 정의

 행렬(matrices)은 l*m 개의 원소를 갖는 직사각형 배열이며, l은 행의 개수이고 m은 열의 개수이다. 하나의 행을 갖는 행렬을 행 행렬(row matrix)이라 하고, 하나의 열을 갖는 행렬을 열 행렬(column matrix)이라고 한다. 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬은 정방 행렬(square matrix)이라고 한다. 정방 행렬은 주대각선(main diagonal)을 형성한다. 주대각선이 1이고 나머지는 0인 정방 행렬을 항등행렬(identity matrix) I라고 한다.

 

2. 연산과 관계식

1. 등식
 두 행렬의 행과 열의 개수와 대응되는 원소가 동일하다면 그 두 행렬은 동일하다.

2. 덧셈과 뺄셈
 두 행렬의 행과 열의 개수가 같으면 두 행렬을 더하거나 뺄 수 있다. 

3. 곱셈
 첫 번째 행렬의 열의 개수가 두 번째 행렬의 행의 개수와 같다면 다른 크기의 두 행렬을 곱할 수 있다.

4. 스칼라 곱
행렬에 스칼라(scalar)라고 하는 수를 곱할 수 있다.

 

3. 행렬식

 정방 행렬에서 정의되는 행렬식(determinant)은 귀납적으로 계산된다. det(A)로 표기한다.

1. m=1 → det(A)=a11
2. m>1 → det(a) = ∑(i=1,...,m){(-1)^(i+j) * aij * det(Aij)} (Aij는 A에서 i열과 j행을 제거한 뒤 얻어진 행렬)

 

4. 역행렬

1. 덧셈에 대한 역행렬
 행렬 A의 덧셈에 대한 역행렬은 A+B = 0을 만족하는 또 다른 행렬 B이다.

2. 곱셈에 대한 역행렬
 곱셈에 대한 역행렬은 정방 행렬에서만 정의된다. 정방 행렬 A의 곱셈에 대한 역행렬은 A*B = B*A = I를 만족하는 정방 행렬 B이다. 곱셈에 대한 역행렬은 det(A)가 대응되는 집합에서 곱셈에 대한 역원을 가질 때만 존재한다. 실수를 원소로 하는 행렬은 det(A) != 0일 경우에만 역행렬을 갖는다.

 

5. 잉여 행렬

 잉여 행렬(residue matrices)는 모든 행렬의 원소가 Zn에 속하는 행렬이다. 잉여 행렬의 연산은 모듈로 연산으로 행해진다. 잉여 행렬은 행렬의 행렬식이 Zn에서 곱셈에 대한 역원을 가지면 곱셈에 대한 역행렬을 갖는다.